Што е аритметика? Основните теорема на аритметиката. бинарна аритметика

Што е аритметика? Кога започна човештвото да се користат броеви и да работат со нив? Каде што се неговите корени од секојдневниот концепти како што се броеви, дропки, одземање, собирање и множење, тоа лице е составен дел на животот и неговата перспектива? Грчкиот умови се восхитуваат како науки, како математика, аритметика и геометрија, како прекрасна симфонија на човечката логика.

Можеби математика не е толку длабоко како другите науки, но она што ќе се случи со нив, луѓето да заборават на основното множење маси? Запознаени со нас логично размислување, користење на броеви, дропки, и други алатки за да им даде на луѓето тешко време, и за долго време не беше на располагање на нашите предци. Всушност, пред развојот на аритметиката нема областа на човечкото знаење не беше вистински научен.

Аритметички - Математика е азбука

Аритметички - наука на броеви, со што секој поединец почнува запознавање со фасцинантен свет на математиката. Според зборовите на М. В. Ломоносов, аритметички - ова е портата на учење, отворајќи го патот за нас да Miropoznanie. Но, тој е во право, е знаење на светот може да се одвои од познавање на букви и броеви, математика и говорот? Можеби во старите денови, но не и во современиот свет, каде што брзиот развој на науката и технологијата го прави свои закони.

Зборот "аритметика" (ГК ". Arifmos") од грчко потекло, значи "број". Се занимава со број и сите кои можат да бидат поврзани со нив. Ова е свет на броеви: разни операции на броеви, нумерички правила, задачи кои се поврзани со множење, одземање, и така натаму ..

Општо е прифатено дека првиот чекор е аритметичка математика и солидна основа за посложените нејзините делови, како што се алгебра, математичка анализа, виша математика и т. Д.

Главниот предмет на аритметички

Основа на аритметички - е цел број, својства и законите со кои се смета за највисок аритметика или теоријата на броевите. Всушност, како се зема право на пристап во разгледување на толку мала единица, како природен број зависи од силата на зградата - математика.

Затоа, на прашањето што е аритметика, одговорот е едноставен: тоа е наука на броеви. Да, за вообичаените седум, девет, а сето ова разновидна заедница. И само како добро, и повеќето просечни стихови не може да пишува без основните азбука, без аритметички не може да се решат, дури и основните задачи. Тоа е причината зошто сите науки имаат напредни само по развојот на аритметички и математика, примарно збир на претпоставки.

Аритметички - наука-духот

Што е аритметичка - природни науки или фантомски? Всушност, како што е образложено старогрчките философи, без броеви, нема податоци во реалноста не постои. Тоа е само фантомска, која е создадена во човечката мисла кога се гледаат на животната средина и процеси. Всушност, она што е бројот? Никаде околу ние не гледам такво нешто може да се нарече број, а бројот - тоа е начин да се истражуваат светот на човечкиот ум. Можеби оваа студија имаме во себе? Филозофите се расправаат околу тоа за многу векови во ред, па да им даде исцрпен одговор ние не се преземат. Во секој случај, аритметички можеше толку цврсто преземат својата позиција во современиот свет никој не може да се смета за социјално прилагодени без знаење на нејзините темели.

Како што имаше позитивен цел број

Се разбира, главната цел на кој функционира аритметика, - природен број, како што се 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... итн Аритметички на природни броеви е резултат на сметка на обичните предмети, како што се крави во една ливада. Сепак, дефиницијата на "многу" или "малку" кога нешто ќе престане да се одржи луѓе, и мораше да се измисли повеќе софистицирана техника броење.

Но, вистинскиот пробив дојде кога човечкиот ум постигнуваат една точка која може да биде еден и ист број на "два" за означување и 2 кг, и 2 тули и 2 дела. Фактот дека тоа е неопходно да се апстрахираат од форми, карактеристиките и значењето на објектите, а потоа може да се произведуваат некои мерки со овие објекти во форма на позитивни цели броеви. Така е роден на аритметиката на броеви, кои понатаму се развива и да се прошири во окупираат позиција во општеството.

Таквите во-длабочината на концептот на број, како нула и негативни броеви, дропки, бројки се однесуваат на броевите на друг начин, имаат богата и интересна историја на развој.

Аритметички и практични Египќаните

Две древни човечки придружник во студијата на светот и решавање на секојдневните проблеми - ова аритметика и геометрија.

Се верува дека историјата на аритметички ги има своите корени во античка Исток: Индија, Египет, Вавилон и Кина. Значи, Rhind папирус египетско потекло (така наречен поради истото име припаѓаат на сопственикот), кои датираат од XX век. П.н.е., во прилог на други вредни податоци вклучува проширување на дел во износ од дропки со различни именители и броителот е еднаков на една.

На пример: 2/73 1/60 = + 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Но, она што е значењето на таква комплексна распаѓање? Фактот дека египетската пристап не толерира апстрахирани размислува за броеви, напротив, пресметките се направени само за практични цели. Тоа е, Египќаните ќе бидат ангажирани во такви бизнис, како и пресметки, само со цел да се изгради на гробот, на пример. Тоа беше неопходно за да се пресмета должината на перка структура, и го направи за еден човек да седат папирус. Како што може да се види, египетската напредок во пресметките се викаше, а голем, градење, наместо љубов на науката.

За оваа причина, се најде на папируси пресметки, може да се нарече рефлексии на тема фракции. Најверојатно, тоа е практична подготовка, што помогна да понатаму да ги реши проблемите со дропки. Античките Египќани не знаев на таблицата за множење, произведени прилично долг пресметки, се шират во многу подзадачи. Можеби ова е една од оние подзадачи. Тоа е лесно да се забележи дека пресметките со овие празни места е многу време и не е многу ветувачки. Можеби поради оваа причина ние не ги гледаме голем придонес за развојот на египетската математика.

Античка Грција и филозофски аритметички

Многу од познавање на Стариот Исток беа успешно совлада од страна на античките Грци, познат на љубителите на апстрактни, апстрактни и филозофска рефлексија. Вежбајте ги интересира ништо помалку, но најдобро теоретичари и филозофи се тешко да се најде. Тоа е добро за науката затоа математика не е можно да се оди длабоко, не е тоа кинење со реалноста. Се разбира, тоа е можно да се множи со 10 крави и 100 литри млеко, но не можат да се движат сега.

Грците длабоко размислување остави значаен белег во историјата, а нивните дела се дојде до нас:

• Евклид и "Елементи".
• Питагора.
• Архимед.
• Ератостен.
• Зенон.
• Anaxagoras.

И, се разбира, се врти на сите филозофија на Грците, а особено на следбениците на Питагора случаи беа толку страстни за броеви, кои ги мистерија светот хармонија смета. Бројките се толку изучува и истражува, дека некои од нив и нивните двојки припишува посебни својства. На пример:

• Совршен броеви - оние кои се збир на сите делители освен бројот себе (6 = 1 + 2 + 3).
• Пријателски броеви - овие броеви, од кои еден е збир на сите делители на втората и обратно (Питагорина знам само дека еден таков пар: 220 и 284).

Грците, кои се верува дека науката треба да се сака, а не да биде со неа за доброто на добивка, направија големи чекори, истражување, игра и додавање броеви. Треба да се напомене дека не сите од нивните истражувања биле широко се користи, некои од нив беа само "за убавина."

Источна мислители на средниот век

Слично на тоа, во средниот век аритметички го должи својот развој на источниот современици. Индијанците ни даде бројките кои активно користат такво нешто како "нула", и варијација позиција систем пресметка, вообичаените модерна перцепција. Од Ал-каша, која во 15 век работел во Самарканд, го наследил децимали, без кои е тешко да се замисли современиот аритметика.

На многу начини, Европа запознаа со достигнувањата на Исток е овозможено благодарение на работата на италијанскиот научник Леонардо Фибоначи, кој напиша книга "Liber Abaci", запознавање со ориентални иновации. Таа стана камен-темелник на развојот на алгебрата и аритметиката, истражување и научни активности во Европа.

Руската аритметички

Конечно, аритметика, го најде своето место и вкоренети во Европа, почна да се шири на руска земја. Руската првиот аритметички објавени во 1703 - тоа е книга за аритметички Leontiya Magnitskogo. За долго време, тоа беше само туториал во математиката. Таа содржи почетните моменти на алгебрата и геометријата. Бројките, кои биле користени во примерите на првиот учебник на Русија на аритметиката, арапски. Иако арапски броеви се сретнале пред, во резби кои датираат од 17 век.

Самата книга е украсен со слики од Архимед и Питагора, и на првата страница - аритметички слика како жена. Таа седи на престолот, под него е напишано во Хебрејскиот збор за името на Бога, и на чекорите кои водат до олтарот, испишани со зборот "поделба", "зголемување", "тоа", и така натаму. Д. Може само да се замисли што вредноста предаден тие вистини, кои сега се сметаат за вообичаени.

Учебникот на 600 страници го опишува како основа на, како собирање и множење маси, како и апликации за навигациски науки.

Не е изненадувачки, авторот го избра имиџот на грчки мислители за неговата книга, бидејќи тој самиот беше воодушевена од убавината на аритметиката, велејќи: "аритметички е chislitelnitsa има саем на уметноста, nezavistnoe ...". Овој пристап на аритметички е основано, бидејќи тоа е неговата широка усвојување може да се смета за почеток на брзиот развој на научната мисла во Русија и општо образование.

мачно прости броеви

Прост број - тоа е природен број, што е само 2 позитивни делители: 1 и себе. Сите други броеви, освен 1 се нарекува сложено. Примери на прости броеви: 2, 3, 5, 7, 11, и сите други кои не се делители освен 1 и самиот број.

Што се однесува до бројот 1, тоа е премија - постои согласност дека треба да се смета ниту едноставен ниту соединение. Едноставна на прв поглед, едноставен број крие многу нерешени мистерии во себе.

теорема Евклид вели дека бесконечен број на прости броеви, и Ератостен излезе со посебен аритметика "сито", која ја елиминира сложени броеви, оставајќи ги само едноставна.

Нејзината суштина е да се нагласи првиот обновам број, а во следните Отфрлање на оние кои се множители на него. Ние повтори оваа постапка неколку пати - и да се добие маса на прости броеви.

Фундаменталните теореми на аритметички

Меѓу забелешки за прости броеви треба да се специјално зборуваме за основни аритметички теорема.

Основни аритметички теорема вели дека секоја цел број поголем од 1, или едноставно, или тоа може да се распаднат во еден производ на прости броеви до редоследот на повторување фактори, единствениот начин.

Фундаменталните теореми на аритметички покажа како доста тежок, и разбирање на тоа не е како само основите.

На прв поглед, на прости броеви - основни концепт, но тоа не е. Физика, исто така, некогаш се сметаше за основно атом, се додека не се најде во внатрешноста на универзумот. Прости броеви посветена една убава приказна математичар Дон Zagier "Првиот педесет милиони прости броеви."

Од "три јаболка" на дедуктивна закони

Тоа навистина може да се нарече засилен основа на сите науки - законите на аритметиката. Уште како дете сите аритметички лице, проучување на бројот на нозете и рацете на кукли, бројот на коцки, јаболка и така натаму. Д. Значи ние учат аритметика, која тогаш напредува во повеќе комплексни правила.

Целиот наш живот не запознава со правилата на аритметиката, кои беа за обичниот човек од најкорисните на сите дека науката дава. Студијата на броеви - тоа е "аритметички-бебе", со кој се воведува човекот во светот на броеви како бројки во раното детство.

Високо аритметички - дедуктивна наука која ги проучува законите на аритметиката. Повеќето од нив знаеме, иако можеби не знаеме точната формулација.

Правото на собирање и множење

Било кои два броеви a и b може да се изрази како збир на a + b, кој исто така е природен број. Во врска со тоа, следните закони:

• Комутативен, во која се вели дека пермутација на условите става износ не се менува, или a + b = b + a.
• Асоцијативни што рече збирот не зависи од начинот на групирање на условите во местата, или + (b + c) = (a + b) + c.

Правила на аритметиката, како што се собирање, - еден од основните, но тие се користат сите науки, а не да се спомене и секојдневниот живот.

Било кои два броеви a и b може да се изрази во производот или b * a * b, кој исто така е природен број. Се применуваат на производот исто комутативен и асоцијативна закони, како на додавање на:

• a * b = b * А;
• a * (б * c) = (a * b) * C.

Интересно е тоа што постои закон, кој ги комбинира собирање и множење, исто така познат како дистрибуција или дистрибутивниот закон:

a (b + c) = ab + AC

Овој закон не учи да се работи со загради, отворање на нив, со што веќе може да се работи со повеќе сложени формули. Тоа се законите што ќе не води низ необичниот но комплексен свет на алгебрата.

Законот аритметички цел

за законите на човечката логика го користи секој ден, проверка на саатот и пребројување на сметки. И, сепак, и тоа треба да се направи во одреден јазик.

Ако имаме две позитивни цели броеви a и b, тогаш следниве опции:

• A е еднаков со Б, или a = b;
• помалку од Б, или
• А е поголема од Б, или a> b.

Од трите опции само може да биде само еден. Основниот закон, со кој се регулира постапката, рече: ако a

Исто така, постојат закони кои се врзуваат на акции од редот на собирање и множење: ако a

Законите на аритметиката нè научи да работи со броеви, знаци и загради, претворајќи се во една хармонична симфонија на броеви.

Позиционен и nonpositional систем за нумерирање

Можеме да кажеме дека на броеви - ова е јазикот на математиката, од удобноста на кој зависи од многу работи. Постојат многу системи на пресметка, која, како писмото на различни јазици се разликуваат.

Сметаат дека системот број од гледна точка на позиции влијание врз квантитативни вредност на цифра во оваа позиција. На пример, римскиот систем е nonpositional каде секој број е кодиран со одредена група на специјални знаци: I / V / X / L / C / D / М. Тие се, односно, бројот 1/5/10/50/100/500 / 1000. Во овој систем, бројката не го промени својот квантитативно определување, во зависност од тоа во каква положба, ако: .. На прв, втор, итн За да се добие други броеви, тоа е потребно да се утврдат базата. На пример:

• DCC = 700.
• ССМ = 800.

Повеќе запознаени со нас броен систем со користење на арапски броеви е позиционен. Во таков систем на бројот на празнење дефинира бројот на цифри, на пример, со троцифрени броеви: 333, 567, итн Тежината на која било од празнење зависи од позицијата на која бројка е еден или на друг, на пример, слика 8 во втората позиција има вредност од 80. Тоа е типично за децимална систем, постојат и други позиционен систем, како што се бинарни.

бинарна аритметика

Ние сме запознаени децимален систем, се состои од еден малку и мулти-битни броеви. Бројката на левата страна на бројот цифрата е десет пати повеќе во значење на еден од десно. Значи, ние се користи за читање 2, 17, 467, и така натаму. Д. Тоа е поинаква логика и пристап дел, кој се нарекува "бинарна аритметика." Ова не е изненадувачки, бидејќи бинарна аритметика не е создадена за човечката логика, и за компјутер. Ако аритметичката на броеви потекнуваат од гласовите, што уште повеќе апстрахирани од предметот на имотот на "голо" аритметика, тогаш тоа нема да работи со вашиот компјутер. Да бидат во можност да ги споделат своите знаења со компјутер, еден човек мораше да измисли пресметка модел.

Бинарна аритметика работи со бинарни писмо, кое се состои само од 0 и 1. И употребата на ова писмо се нарекува бинарен систем.

За разлика од бинарната аритметика децимални дека важноста на позицијата на левата веќе не се 10, и 2 пати. Бинарни броеви се во форма 111, 1001 и така натаму. Д. Како ние треба да се разбере овие бројки? Така, ние се разгледа на бројот 1100

1. Првата цифра на левата страна - 1 * 8 = 8, имајќи предвид дека четврта цифра, што значи дека мора да се множи со 2, се добива позиција 8.
2. Втората цифра 1 * 4 = 4 (став 4).
3. На третата цифра 0 * 2 = 0 (став 2).
4. Четвртиот цифрен 0 * 1 = 0 (положба 1).
5. Значи нашиот број 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Тоа е, процесот на транзиција кон нова категорија на левата страна на неговото значење во бинарен систем се множи со 2 и од децималниот - до 10. Таков систем има еден недостаток: тој е премногу голем раст битови кои се потребни за да го снимите броеви. Примери цели броеви dvochinyh како што може да се види во следната табела.

Цели броеви се претставени во бинарна форма подолу.

Тоа е исто така се користи октални и хексадецимален систем за нумерирање.

Овој мистериозен аритметички

Што е аритметика, "два плус два" или неистражена мистерии на броеви? Како што можете да видите, аритметика, може, а што изгледа на прв поглед е едноставно, но тоа не е очигледно измамен леснотија. Можно е да учат деца, и заедно со тетка сова од цртан филм "аритметички-бебе", а вие може да се нурне во длабочините на научни истражувања речиси филозофски ред. Во историјата тоа помина од броење предмети да се поклони на убавината на броеви. Едно е сигурно: со воспоставување на основните постулати на аритметиката, сите науки можат да се потпрат на силна рамо.