Равенката на рамнината: како да се направи? Видови авион равенки

простор на авионот може да се дефинира на различни начини (една точка и вектор, векторски и двете точки, три поени, итн). Тоа е со ова на ум, равенка на рамнина може да има различни типови. Исто така, под одредени услови, авионот може да бидат паралелни, нормално, се пресекуваат, итн На оваа и ќе разговара во овој член. Ние ќе научат да се направи на општата равенка на рамнина и не само.

Нормална форма на равенката

Претпоставиме R е простор _3, која има правоаголен координатен систем XYZ. Ние се дефинираат вектор α, кој ќе биде објавен од почетната точка О. До крајот на векторот α исцртување рамнината P која е нормална на него.

Означување P на една произволна точка Q = (x, y, z). вектор радиусот на точката Q знак писмо стр. Должината на векторот е еднаква на α p = IαI и Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Оваа единица вектор, која е насочена во насоката што е вектор α. α, β и γ - се агли кои се формираат помеѓу векторот и позитивни насоки Ʋ простор оски x, y, z, соодветно. Проекција на точка на векторот QεP Ʋ е постојан кој е еднаков на p (p, Ʋ) = p (r≥0).

На горенаведените равенката е значајно кога p = 0. На само n авион во овој случај, ќе центрира точка O (α = 0), која е потекло, и единица вектор Ʋ, ослободен од точката O ќе биде нормална P, иако својата насока, што значи дека определува вектор Ʋ на до знак. Претходната равенка е нашиот авион Ц, изразена во векторска форма. Но, со оглед на нејзините координати е:

P е поголема или еднаква на 0. Ние откривме авион равенка во нормална форма.

Општата равенка

Ако равенката во координатите множи со било кој број кој не е еднаков на нула, ние се добие равенката еквивалент на ова со кој се дефинираат многу авионот. Таа ќе има следната форма:

Тука, A, B, C - е бројот на истовремено различни од нула. Оваа равенка се нарекува равенката на општата форма на авионот.

Равенките на авиони. посебни случаи

Равенката генерално може да се менува со дополнителни услови. Сметаат дека некои од нив.

Да претпоставиме дека коефициентот А е 0. Ова укажува на тоа дека рамнина паралелна со оската Ox предодредено. Во овој случај, во форма на равенката се менува: Ву + Cz + D = 0.

Слично на тоа, во форма на равенката и ќе се разликуваат со следните услови:

• Прво, ако B = 0, промени на равенката ax + Cz + D = 0, кои ќе укажуваат на паралелизам на оската Oy.
• Второ, ако C = 0, равенката се трансформира во Ax + By + D = 0, тоа е да се каже за паралелно со предодредено оската Oz.
• Трето, ако D = 0, равенката ќе се појави како Ax + By + Cz = 0, што би значело дека авионот се вкрстува О (потеклото).
• Четврто, ако A = B = 0, промени на равенката на Cz + D = 0, кој ќе се покаже на паралелизам Oxy.
• Петто, ако B = C = 0, равенката станува ax + D = 0, што значи дека авион е паралелна со Oyz.
• Sixthly, ако A = C = 0, равенката е во форма Ву + D = 0, т.е., ќе поднесе извештај до Oxz на паралелизам.

Форма на равенката во сегменти

Во случај кога броеви A, B, C, D различен од нула, во форма на равенката (0) може да биде како што следува:

x / a + y / b + z / c = 1,

назначена со тоа, a = -D / A, b = -D / B, C = -D / C.

Ќе добиеме како резултат равенката на рамнината во парчиња. Треба да се напомене дека овој авион ќе се сечат на x-оската во точката со координати (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), а Оз - (0,0, а).

Со оглед на равенката x / a + y / b + z / c = 1, дека не е тешко да се визуелизира поставеност во однос на рамнината на предодредено координатен систем.

Координатите на нормалниот вектор

нормалниот вектор n На во однос на рамнината P има ширина, кои се коефициентите на општата равенката на рамнината, т.е. n (A, B, C).

Со цел да се одреди координатите на n нормално, доволно е да се знае општото равенката дадена авион.

При користење на равенката во сегменти, кој е во форма x / a + y / b + z / c = 1, како што кога се користи општата равенката може да се запише ширина од ниту нормалниот вектор даден авион: (1 / a + 1 / b + 1 / в).

Треба да се напомене дека нормалниот вектор на помагање да решаваат различни проблеми. Најчестите проблеми се состои во доказ нормално или паралелни рамнини, задачата за наоѓање на аглите меѓу авиони или аглите меѓу авиони и прави линии.

Вид според равенката на рамнината и координати на точка нормална на векторот

A нула вектор n, којашто е нормална на дадена авион, наречен нормална (нормален) за да се предодредено авион.

Да претпоставиме дека во координатниот простор (правоаголен координатен систем) Oxyz во собата:

• Mₒ точка со координати (hₒ, uₒ, zₒ);
• нула вектор n = A * i + B * j + C * k.

Вие треба да бидете равенката на рамнината која минува низ Mₒ точка нормална на нормална n.

Во просторот ние изберете било која произволна точка и означување M (x, y, z). Нека радиус вектор на секоја точка M (x, y, z) ќе биде r = x * i + y * j + z * k, и радиус вектор на точка Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. точка М ќе припаѓаат на една рамнина, ако вектор MₒM за да биде нормална на векторот n. Ви го пишуваме за состојбата на ортогоналноста користење на скаларен производ:

[MₒM, n] = 0.

Од MₒM = r-rₒ, вектор равенката на рамнината ќе изгледа вака:

[R - rₒ, n] = 0.

Оваа равенка може да има и друга форма. За таа цел, својствата на скаларен производ, и претворена левата страна од равенката. [R - rₒ, n] = [R, N] - [rₒ, n]. Ако [rₒ, n] означена како S, ние се добие на следнава равенка: [R, N] - a = 0 или [R, n] = S, што го изразува постојаност на проекции на нормалниот вектор на радиусот-вектори на дадените точки кои припаѓаат авион.

Сега можете да се координираат за снимање тип авион нашата вектор равенка [r - rₒ, n] = 0. Од г-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * к, и n = A * i + B * j + C * k, имаме:

Излегува дека имаме равенката се формира рамнина што минува низ точка нормална на нормална n:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Вид според равенката на рамнината и координати на две точки на вектор авион колинеарни на

Ние се дефинираат две произволни точки M '(x', y, z ') и М "(x", y ", Z"), како и како вектор (A', односно ", односно ‴).

Сега ние може да напише равенката предодредено рамнина која минува низ постоечките точка М и М ", и секоја точка со координати M (x, y, z) паралелно со даден вектор.

Така M'M вектори x = {x, y-Y '; zz'} и M "М = {x" X ', y' Y '; Z "-Z'} треба да биде компланарни со векторот a = (a ', односно ", односно ‴), што значи дека (M'M M" М, a) = 0.

Значи, нашата равенка на рамнина во простор ќе изгледа вака:

Тип на авион равенка, преминувањето три точки

Да речеме дека имаме три точки: (x, y, z), (x, y, z), (x ‴ Имаат ‴, z ‴), кои не припаѓаат на иста линија. Неопходно е да се напише равенката на рамнината која минува низ трите точки наведени. геометрија теорија тврди дека овој вид на авионот не постои, тоа е само една и единствена. Од оваа рамнина ја сече (x, y, z), нејзината равенка форма ќе бидат:

Тука, A, B и C се различни од нула во исто време. Исто така, дадена авион се вкрстува повеќе две точки (x ", y", Z ") и (‴ x, y ‴, z ‴). Во врска со ова треба да се врши овој вид на услови:

Сега можеме да се создаде единствен систем на равенки (линеарни) со непознати u, v, w:

Во нашиот случај X, Y или Z претставува произволна точка која ги задоволува равенката (1). Со оглед на равенката (1) и систем на равенки (2) и (3) на систем на равенки што е наведено во Слика погоре, вектор ги исполнува N (A, B, C), која е nontrivial. Тоа е затоа што детерминанта на системот е нула.

Равенката (1) дека ние го добивме, ова е равенка на рамнина. 3 точка таа навистина се случува, и тоа е лесно да се провери. Да го направите ова, ние ги прошират детерминанта на елементи во првиот ред. На постојните својства одредница следува дека нашиот авион истовремено се вкрстува со три првично предодредено точка (x, y, z '), (x ", y", z "), (x ‴, ‴ y, z ‴). Па решивме да задача пред нас.

Dihedral аголот помеѓу рамнини

Dihedral агол е геометриски облик на просторни формирана од страна на две полу-рамнини кои произлегуваат од права линија. Со други зборови, дел од просторот кој е ограничен на половина авиони.

Да претпоставиме дека имаме две авион со следните равенки:

Знаеме дека вектор N = (A, B, C) и N¹ = (ЈИ ╧, H¹, S¹) во согласност со однапред одредени авиони се под прав агол. Во овој поглед, на аголот φ помеѓу вектори N и N¹ еднаква агол (dihedral), која се наоѓа помеѓу овие авиони. Скаларен производ е дадена со:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

токму поради

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (ЈИ ╧) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Доволно е да се земе во предвид дека 0≤φ≤π.

Всушност две рамнини кои се сечат, форма на две агол (dihedral): φ φ ₁ и _2. Нивната сума е еднаква на Р (φ φ ₁ + ₂ = π). Што се однесува до нивните косинус, нивните апсолутни вредности се еднакви, но тие се различни знаци, што е, cos φ φ -cos ₁ = _2. Ако во равенката (0) се заменува со А, Б и В-А, -Б и C односно равенката, ние се добие, ќе се утврди на иста рамнина, единствениот агол φ во равенката cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Тој ќе биде заменет од страна на π-φ.

Равенката на рамнината нормална

Наречен нормално авион, помеѓу кои агол е 90 степени. Користење на наведеното материјал, може да се најде на равенка на рамнина нормална на друга. Да претпоставиме дека имаме два авиони: Ax + By + Cz + D = 0, и + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Ние може да се каже дека тие се ортогонални ако cos = 0. Ова значи дека NN¹ = AA¹ VV¹ SS¹ + + = 0.

Дефинирање на паралелна рамнина

Тоа од две паралелни рамнини што не содржат заеднички точки.

На состојба на паралелни рамнини (нивните равенки се исти како и во претходниот став) е дека вектори N и N¹, кои се нормални на нив, колинеарни. Ова значи дека овие услови се исполнети пропорционалност:

A / ЈИ ╧ = B / C = H¹ / S¹.

Ако пропорционален однос се прошируваат - A / ЈИ ╧ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

ова покажува дека авионот на податоците за истиот. Ова значи дека равенката Ax + By + Cz + D = 0 и + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 се опише еден авион.

На растојание од точка до рамнина

Да претпоставиме дека имаме авион Ц, кој е даден од страна на (0). Неопходно е да се најде на оддалеченост од точка со координати (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Треба да се донесе на равенката во нормален изглед авион II ќе го направи тоа:

(Ρ, v) = P (r≥0).

Во овој случај, ρ (x, y, z) е радиус векторот од нашите точката Q, кој се наоѓа на n p - n е должината на нормална, кој беше ослободен од нулта точка, v - е единица вектор, кој е поставен во насока.

разликата ρ-ρº радиус вектор на точката Q = (x, y, z), кои припаѓаат на N и радиус вектор на дадена точка Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) е таква вектор, апсолутната вредност на проекција од кои на v е еднаква на растојание d, што е потребно да се најде од Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) за да се P:

D = | (ρ ^ρ-0, v) |, но

(Ρ ^ρ-0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = P (ρ ^0, v).

Значи излегува,

d = | (ρ ^0, v) P |.

Сега е јасно дека за да се пресмета растојанието d од ₀ до П рамнината P, тоа е потребно да се користи нормално поглед авион равенка, промената од лево на p и на последното место на x, y, z замена (hₒ, uₒ, zₒ).

Така, ние се најде на апсолутната вредност на добиената израз кој се бара d.

Користење на параметрите на јазикот, ние се очигледни:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Ако одредено точката Q ₀ е на другата страна на рамнината P како потекло, а потоа помеѓу вектор-ρ ρ ⁰ и v е тап агол, на тој начин:

d = - (ρ ^ρ-0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

Во случај кога точката Q ₀ во врска со потекло кој се наоѓа на иста страна на U, на акутна агол е создадена, кое е:

d = (ρ ^ρ-0, v) = P - (ρ ^0, v)> 0.

Резултатот е тоа што во првиот случај (ρ ^0, v)> p, во втората (ρ ^0, v)

И тангентна рамнина равенка својата

Во однос на рамнината на површината во точката на tangency Mº - рамнина содржи сите можни тангента на кривата подготвени преку која точка на површината.

Со оваа површина форма на равенката F (x, y, z) = 0 во равенката на тангентна рамнина тангента точка Mº на (hº, uº, zº) ќе биде:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Ако површината е поставена експлицитно z = f (x, y), а потоа тангентна рамнина е опишана со равенката:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Пресекот на два авиони

Во три-димензионален простор е координатен систем (правоаголен) Oxyz, со оглед на два авиони Ц и P 'кои се преклопуваат и не се совпаѓаат. Од било авион, кој е во правоаголен координатен систем што е дефинирано од страна на општата равенката, ние се претпостави дека n 'и n "се дефинирани од страна на равенки A'x + V'u S'z + + D' = 0 и A" + B x '+ y Со "z + D" = 0. Во овој случај имаме нормални n '(А, Б, Ц) на авионот Ц "и нормално n" (А "Б", C ") на рамнината P". Како нашиот авион не се паралелни и не се совпаѓаат, а потоа овие вектори не се колинеарни. Употреба на јазикот на математиката, имаме оваа состојба може да се запише како: n '≠ n "↔ (A, B, C) ≠ (λ * И", λ * Во ", λ * C"), λεR. Нека права линија која се наоѓа на пресекот П и П ", ќе се означува со буквата a, во овој случај = P '∩ Па".

и - линија која се состои од множество на точки (заеднички) рамнини P 'и P ". Ова значи дека координатите на било која точка припаѓаат на линија, истовремено мора да ги задоволи равенката A'x + V'u S'z + + D '= 0 и A "x + B' + C y" z + D "= 0. Ова значи дека координатите на точката ќе биде одредено решение од следните равенки:

Резултатот е дека решението (вкупно) на овој систем на равенки ќе го одреди координатите на секоја од поени на линија која ќе дејствува како точка на пресек P 'и Р ", и да се одреди линија во координатен систем Oxyz (правоаголен) простор.