Правило Крамер и нејзината примена

правило Крамер - е еден од точниот методи за решавање системи линеарни алгебарски равенки (Слау). Нејзината точност се должи на употребата на детерминантите на матрица на системот, како и некои од ограничувањата наметнати во докажување на теорема.

На систем од линеарни алгебарски равенки со коефициенти кои припаѓаат на, на пример, мноштво на R - реални броеви на непознати X1, X2, ..., Xn е збирка на изразите

ai2 X1 + ai2 x2 + ... ain xn = BI со i = 1, 2, ..., m, (1)

каде AIJ, БИ - реални броеви. Секој од овие изрази се нарекува линеарна равенка, AIJ - коефициентите на непознати, БИ - независна коефициентите на равенките.

раствор на (1) од n-димензионален вектор x ° = (X1 °, x2 °, ..., Xn °), на која се изврши измена во системот за X1 непознати, X2, ..., Xn, секоја од линии во системот станува најдобар равенката .

Системот се нарекува согласност доколку има најмалку едно решение, и е во спротивност, ако тоа се совпаѓа со сет решение на празна собата.

Мора да се запамети дека со цел да се најдат решенија за системи на линеарни равенки со помош на методот на Крамер, матрица системи мора да биде квадратни, што во основа значи ист број на непознати и равенки во системот.

Значи, да го користат методот Крамер, мора барем знам што матрицата е на систем од линеарни алгебарски равенки, и тоа се издава. И второ, да се разбере она што се нарекува детерминантата на матрицата и свој вештини на пресметување.

Дозволете ни да се претпостави дека ова знаење што го поседуваат. Прекрасно! Потоа мора да се само запаметат формулите за определување метод Крамер. За да се поедностави меморирање користите следниов нотација:

• Det - главна детерминанта на матрицата на системот;

• Deti - е детерминантата на матрицата добиени од примарен матрица на системот од страна на замена на i-тата колона на матрицата во вектор колона чии елементи се на десно страни на линеарни алгебарски равенки;

• n - број на непознати и равенки во системот.

Потоа Крамер е правило пресметка i-тиот xi компонента (i = 1, .. n) n-димензионален вектор x може да се запише како

xi = Deti / Det, (2).

Во овој случај, Det строго различен од нула.

Единственоста на решение на системот, кога тоа е предвидено заеднички од страна состојба нееднаквоста на главна детерминанта на системот на нула. Во спротивно, ако збирот на (xi), квадрат, стриктно позитивен, тогаш SLAE квадратна матрица е неизводливо. Ова може да се случи особено кога барем еден од Deti нула.

Пример 1. За да се реши на три-димензионални систем Ло со користење на формулата Крамер е.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 X1 + x2 + x3 = 2 29,
3 X1 - x2 + x3 = 10.

Одлука. Ние се запишам на матрица на линија систем од страна на линија, каде што Ai - е јас-ти ред на матрицата.
А1 = (1 2 4), А2 = (5 1 2), со А3 = (3, -1, 1).
Колона бесплатно коефициенти b = (31-29 октомври).

Главниот систем е детерминанта Det
Det = A11 A22 A33 A12 A23 A31 + + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

За да се пресмета со помош пермутација det1 A11 = b1, b2 = A21, A31 = b3. тогаш
det1 = b1 + A22 A33 A12 A23 A31 b3 + b2 A32 - A13 A22 b3 - Б1 A32 A23 - A33 A12 = b2 ... = -81.

Слично на тоа, за да се пресмета det2 употреба замена A12 = b1, b2 = A22, A32 = b3, и, според тоа, да се пресмета det3 - A13 = b1, b2 = A23, A33 = b3.
Тогаш може да се провери дека det2 = -108 и det3 = - 135.
Според формулите Cramer се најде X1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, X3 = -135 / (- 27) = 5.

Одговори на: x ° = (3,4,5).

Потпирајќи се на примената на ова правило, начинот на Крамер решавање системи линеарни равенки може да се користи индиректно, на пример, да се испита системот за можните број на решенија во зависност од вредноста на параметарот k.

Пример 2. За да се утврди на кои вредности на нееднаквост параметарот k | KX - y - 4 | + | x + Кентаки +4 | <= 0 има точно едно решение.

Одлука.
Оваа нееднаквост, според дефиницијата на функцијата модул може да се врши само ако двата израза се нула истовремено. Затоа, овој проблем се сведува на наоѓање на решение на линеарни алгебарски равенки

kx - y = 4,
x + ky = -4.

Решението за овој систем само ако тоа е главната детерминанта на
Det = k ^ {2} + 1 е нула. Јасно е дека овој услов е исполнет за сите вистински вредности на параметарот k.

Одговор: за сите вистински вредности на параметарот k.

Целите на овој тип може да се намали со многу практични проблеми во областа на математика, физика или хемија.