Збирот на аглите на триаголникот. Теоремата на збирот на аглите на триаголникот

Триаголникот е полигон со три страни (три агли). Најчесто, во делот означен со мали букви соодветните големи букви, кои претставуваат спротивни темиња. Во оваа статија ние ќе ги разгледаме во овие видови на геометриски форми, теорема, која се дефинира што е еднаков на збирот на аглите на триаголникот.

Видови најголемиот агли

Следните видови на многуаголник со три темиња:

• акутна-аголни, во која сите агли се остар;
• правоаголни да има од еден прав агол, од страна на формирањето на неа, се однесуваат на нозе, и на страната која е поставен спротивно на прав агол се нарекува хипотенузата;
• тап кога еден агол е тап ;
• рамнокрак, чии две страни се еднакви, и тие се нарекува странични, а третиот - триаголник со база;
• рамностран има три еднакви страни.

својства

Одвои основните својства кои се карактеристични за секој вид на триаголник:

• од спротивната страна на најголемата страна е секогаш поголем агол, и обратно;
• се еднакви агли спроти еднакви по големина партија, и обратно;
• во било кој триаголник има две акутна агли;
• надворешниот агол поголема од било внатрешна агол не во непосредна близина на нив;
• збирот од било кои две агли е секогаш помалку од 180 степени;
• надворешен агол еднаков на збирот на другите две страни, кои не се mezhuyut со него.

Теоремата на збирот на аглите на триаголникот

Теорема вели дека ако ги додадете сите агли на геометриска форма, која се наоѓа во Евклидовата авионот, а потоа нивната сума ќе биде 180 степени. Ајде да се обидеме да се докаже оваа теорема.

Ајде да имаме произволен триаголник со темиња KMN. Во склопот на врвот на М ќе се одржи директна паралелно со линијата KN (дури и оваа линија се нарекува Евклид). Треба да се напомене точка A, така што точките К и А се наредени од различни страни на линијата MN. Ние се добие истиот агол на АМС и MUF, кој, како и за внатрешни работи, лежат накрсно да се формира пресечни MN во врска со директен CN и м-р, кои се паралелни. Од ова следува дека збирот на аглите на триаголникот, кој се наоѓа на темињата на M и N е еднаква на големината на аголот на ЦВА. Сите три агли се состои од збир е еднаков на збирот на аглите на KMA и MCS. Од податоците се внатрешните агли во однос еднострани паралелни линии КП и КО М-р во пресекуваат, нивната сума е 180 степени. Ова докажува теорема.

резултат

Од горенаведените горенаведените теореми ги вклучува следниве последица: секој триаголник има две акутна агли. За да го докаже ова, да претпоставиме дека оваа геометриска фигура има само еден мртов агол. Вие исто така може да се претпостави дека ниту еден од аглите не се остри. Во овој случај, мора да биде најмалку два агли, чија големина е еднаква или поголема од 90 степени. Но, тогаш на збирот на аглите е поголема од 180 степени. Но, ова не може да биде, бидејќи според агли теорема сума на триаголник е еднаква на 180 ° - ни повеќе ни помалку. Тоа е она што мораше да се докаже.

Имот надвор агли

Што е збирот на аглите на триаголникот, кои се надвор? Одговорот на ова прашање може да се добие со примена на еден од два начина. Првата е дека треба да се најде на збирот на аглите, кои се земени по еден на секој теме, односно три агли. Вториот значи дека треба да се најде збир на шест агли на темиња. Да се справи со почетокот на првата отелотворување. Така, триаголник содржи шест надворешниот агли - на врвот на секоја од двете. Секој пар има еднакви агли помеѓу себе, бидејќи тие се вертикални:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Покрај тоа, познато е дека надворешниот агол на триаголник е еднаква на збирот на два внатрешни работи, кои не се mezhuyutsya со него. според тоа,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Од ова произлегува дека збирот на надворешните агли, кои се преземени еден по еден во близина на секое теме ќе биде еднаква на:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Со оглед на фактот дека збирот на аглите е еднаква на 180 степени, може да се тврди дека ∟A ∟V ∟S + = + 180 °. Ова значи дека ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Ако се користи втората опција, збирот на шест агли ќе биде соодветно поголема двапати. Односно збирот на аглите на триаголникот надвор ќе биде:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

правоаголен триаголник

Што е еднаков на збирот на аглите на правоаголен триаголник, е остров? Одговорот е, пак, од теорема, во кој се наведува дека аглите на триаголникот додаде до 180 степени. Еден звук нашето тврдење (имот), како што следува: во правоаголен триаголник остри агли додаде до 90 степени. Ние ја докаже својата веродостојност. Нека биде даден триаголник KMN, која ∟N = 90 °. Неопходно е да се докаже дека ∟K ∟M = + 90 °.

Така, според теоремата на збирот на аглите ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. Во оваа состојба, се вели дека ∟N = 90 °. Излегува ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Тоа е ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Тоа е она што ние треба да се докаже.

Во прилог на горенаведените својства на правоаголен триаголник, можете да додадете овие:

• агли, кои лежат во однос на нозете се остри;
• хипотенузата на триаголен поголема од било кој на нозете;
• збирот на нозете повеќе од хипотенузата;
• нога на триаголник, кој се наоѓа од спротивната страна на агол од 30 степени, половина од хипотенузата, што е еднаква на нејзината половина.

Како друг имот на геометриски облик може да се разликуваат Питагоровата теорема. Таа тврди дека во еден триаголник со агол од 90 степени (правоаголен), збирот на квадратите на нозете е еднаков на квадратот на хипотенузата.

Збирот на аглите на рамнокрак триаголник

Понапред се рече дека рамнокрак триаголник е полигон со три темиња, содржи две еднакви страни. Овој имот е познат геометриска фигура: аглите во својата база еднакви. Дозволете ни да го докаже ова.

Земете триаголник KMN, што е рамнокрак, SC - својата база. Ние се бара да се докаже дека ∟K = ∟N. Значи, да претпоставиме дека MA - KMN е Симетрала на нашиот триаголник. ИОР триаголник со првиот знак на еднаквост е триаголник MNA. Имено, со хипотезата со оглед на тоа CM = Н.М., м-р е заедничка страна, ∟1 = ∟2, бидејќи MA - оваа отсечка. Користење на еднаквост на два триаголника, може да се тврди дека ∟K = ∟N. Оттука, теоремата е докажано.

Но, ние сме заинтересирани, она што е збирот на аглите на триаголникот (рамнокрак). Затоа што во таа смисла, нема карактеристики, ние ќе започне од теорема беше дискутирано претходно. Тоа е, можеме да кажеме дека ∟K ∟M ∟N + + = 180 °, или 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (како ∟K = ∟N). Ова не ќе се покаже на имотот, како теорема на збирот на аглите на триаголникот е докажано порано.

Освен смета својства на аглите на триаголникот, има и такви важни изјави:

• во рамностран height триаголник, кои биле да се спушти до база, е истовремено на средната Симетрала на агол кој е меѓу еднакви страни и оската на симетрија на својата база;
• Средната (отсечка, надморска височина), кои се одржуваат на страните на геометриска фигура, се еднакви.

рамностран триаголник

Тоа е исто така, повика на правото, е триаголник, кои се еднакви за сите страни. А со тоа и еднакви и агли. Секој од нив е 60 степени. Дозволете ни да се покаже овој имот.

Да претпоставиме дека имаме триаголник KMN. Ние знаеме дека KM = НВ = KH. Ова значи дека, во согласност со имотот на аглите се наоѓа во основата на рамностран триаголник ∟K = ∟M = ∟N. Бидејќи, според збирот на аглите на триаголникот теорема ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, тогаш x 3 = 180 ° ∟K или ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Така, на тврдење е докажано. Како што се гледа од погоре докази врз основа на горенаведените теорема, збирот на аглите на рамностран триаголник, како збир на аглите на било кој друг триаголник е 180 степени. Еднаш докажува оваа теорема не е потребно.

Постојат уште некои карактеристики карактеристика на рамностран триаголник:

• средна висина Симетрала со геометриска фигура идентични, и нивната должина се пресметува како (а x √3): 2;
• ако овој полигон опишан кругот, тогаш радиус ќе биде еднаква на (а x √3): 3;
• ако впишан во круг рамностран триаголник, неговиот радиус ќе биде (а x √3): 6;
• областа на геометриска фигура се пресметува со формулата: (А2 x √3): 4.

тапоаголен триаголник

По дефиниција, тап-аголни триаголник, еден од нејзините агли е помеѓу 90 до 180 степени. Но, со оглед на фактот дека другите два агли на геометриска форма остар, може да се заклучи дека тие не надминуваат 90 степени. Затоа, збирот на аглите на триаголникот теорема работи во пресметување на збирот на аглите во тапоаголен триаголник. Значи, можеме безбедно да се каже, врз основа на горенаведените теорема дека збирот на тапи агли на триаголникот е 180 степени. Повторно, ова теорема не треба да се ре-доказ.